수학 개념 지도

확률의 덧셈과 곱셈

동시에 일어나지 않는 두 사건의 확률은 더하고, 서로 영향을 주지 않는 두 사건의 확률은 곱한다

성취기준[9수04-06]

먼저 생각해 보기

주사위 한 개를 두 번 던질 때, 두 번 모두 6의 눈이 나올 확률은 얼마일까요?

직접 발견하기표와 넓이로 직접 세어 보세요

더할 때. 서로 다른 두 주사위를 던질 때 ‘두 눈의 합이 4’인 칸과 ‘두 눈의 합이 9’인 칸을 표시했어요. 두 사건은 동시에 일어날 수 없어서 겹치는 칸이 없어요. 그래서 ‘합이 4 또는 합이 9’인 칸은 3칸 + 4칸 = 7칸이고, 확률은 336+436=736\frac{3}{36} + \frac{4}{36} = \frac{7}{36}이에요.

합이 4인 칸과 합이 9인 칸
줄은 빨간 주사위, 칸은 파란 주사위파랑 1파랑 2파랑 3파랑 4파랑 5파랑 6
빨강 11,11,21,31,41,51,6
빨강 22,12,22,32,42,52,6
빨강 33,13,23,33,43,53,6
빨강 44,14,24,34,44,54,6
빨강 55,15,25,35,45,55,6
빨강 66,16,26,36,46,56,6
  • 두 눈의 합이 4 (3칸)
  • 두 눈의 합이 9 (4칸)

두 눈의 합이 4: 3칸, 두 눈의 합이 9: 4칸 (모든 결과 36가지)

곱할 때. 동전 한 개와 주사위 한 개를 던질 때, 동전은 앞면이고 주사위는 6의 눈이 나올 확률을 넓이로 보세요. 가로를 동전의 결과 2칸, 세로를 주사위의 결과 6칸으로 나누면 전체 12칸 중 1칸이에요. 동전의 결과는 주사위의 결과에 영향을 주지 않으니, 넓이는 가로 비율 × 세로 비율이에요.

가로: 동전 앞면 1/2세로: 주사위 6의 눈 1/6
동전 앞면이면서 주사위 6의 눈일 확률을 넓이로 나타낸 그림

색칠한 넓이 = 1/2 × 1/6 = 1/12 (전체 12칸 중 1칸)

다르게 이해하기

한 가지 설명으로 잘 와닿지 않으면 다른 설명을 골라 보세요.

그림 표로 세기

첫 번째 결과를 빨간 주사위, 두 번째 결과를 파란 주사위로 생각하고 표를 그리면 36칸이에요. 두 번 모두 6인 칸은 오른쪽 아래 1칸뿐이라 확률은 136\frac{1}{36}이에요.

두 번 모두 6인 칸
줄은 빨간 주사위, 칸은 파란 주사위파랑 1파랑 2파랑 3파랑 4파랑 5파랑 6
빨강 11,11,21,31,41,51,6
빨강 22,12,22,32,42,52,6
빨강 33,13,23,33,43,53,6
빨강 44,14,24,34,44,54,6
빨강 55,15,25,35,45,55,6
빨강 66,16,26,36,46,56,6
  • 두 번 모두 6 (1칸)

두 번 모두 6: 1칸 (모든 결과 36가지)

그림 넓이로 보기

첫 번째 6의 확률 16\frac{1}{6}을 가로로, 두 번째 6의 확률 16\frac{1}{6}을 세로로 잡으면 겹치는 넓이가 두 번 모두 6일 확률이에요.

가로: 첫 번째 6 1/6세로: 두 번째 6 1/6
두 번 모두 6일 확률을 넓이로 나타낸 그림

색칠한 넓이 = 1/6 × 1/6 = 1/36 (전체 36칸 중 1칸)

실험 실험으로 확인하기

동전 두 개가 모두 앞면일 확률은 12×12=14\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}이에요. 많이 던지면 상대도수가 14\frac{1}{4} 가까이로 모이는지 확인해 보세요.

JavaScript를 켜면 직접 실험할 수 있어요. 지금 보이는 것은 미리 해 둔 예시예요.

  • 둘 다 앞면★ 사건221번
  • 앞면 하나만520번
  • 둘 다 뒷면259번
00.250.50.7511/41번1,000번던진 횟수

예시 1,000번: 둘 다 앞면 221번, 앞면 하나만 520번, 둘 다 뒷면 259번. '모두 앞면' 나온 상대도수 0.221.

수학 식으로 정리하기

사건 A가 일어날 확률을 pp, 사건 B가 일어날 확률을 qq라고 할게요. 두 사건이 동시에 일어나지 않으면 ‘A 또는 B’의 확률은 p+qp + q, 두 사건이 서로 영향을 주지 않으면 ‘A와 B가 함께’의 확률은 p×qp \times q예요.

처음 생각과 비교하기

정답은 136\frac{1}{36}이에요. 첫 번째 결과와 두 번째 결과는 서로 영향을 주지 않으니, 첫 번째에 6이 나올 확률 16\frac{1}{6}과 두 번째에 6이 나올 확률 16\frac{1}{6}을 곱해서 16×16=136\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}이에요.

개념 정리하기

확률의 덧셈. 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A가 일어날 확률을 pp, 사건 B가 일어날 확률을 qq라고 하면 사건 A 또는 사건 B가 일어날 확률은 p+qp + q예요.

확률의 곱셈. 두 사건 A, B가 서로 영향을 주지 않을 때, 사건 A와 사건 B가 함께 일어날 확률은 p×qp \times q예요.

두 규칙 모두 조건이 중요해요. 겹치는 사건을 그냥 더하거나, 서로 영향을 주는 사건을 그냥 곱하면 틀린 값이 나와요. 고등학교 확률과 통계에서 이 내용을 ‘확률의 덧셈정리’, ‘확률의 곱셈정리’로 넓혀 배워요.

헷갈리는 부분 해결하기'또는'이면 확률을 무조건 더한다?

주사위 한 개에서 ‘짝수 또는 3의 배수’의 눈이 나올 확률을 12+13=56\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}로 구하면 틀려요. 6은 짝수이면서 3의 배수라 두 번 셌어요. 실제로는 2, 3, 4, 6의 4가지라서 확률은 6가지 중 4가지, 곧 46\frac{4}{6}예요.

  • 1
  • 2짝수
  • 33의 배수
  • 4짝수
  • 5
  • 6짝수, 3의 배수
주사위 눈 1~6 · ● 짝수, ▲ 3의 배수

짝수: 2, 4, 6(3가지) · 3의 배수: 3, 6(2가지) · 겹치는 수: 6 → '짝수 또는 3의 배수'인 경우는 4가지

헷갈리는 부분 해결하기앞면이 다섯 번 연속 나왔으니 다음은 뒷면이 나올 것이다?

동전은 앞의 결과를 기억하지 않아요. 바로 앞에 무엇이 나왔든 다음에 앞면이 나올 확률은 언제나 12\frac{1}{2}이에요. 아래 실험은 동전을 많이 던진 뒤, ‘앞면이 3번 연속 나온 바로 다음’ 결과만 모아 센 거예요. 앞면 비율이 여전히 절반쯤이에요.

JavaScript를 켜면 직접 실험할 수 있어요. 지금 보이는 것은 미리 해 둔 예시예요.

최근 40번의 결과

  1. 앞
  2. 뒤
  3. 뒤
  4. 앞
  5. 뒤
  6. 뒤
  7. 앞
  8. 뒤
  9. 뒤
  10. 앞
  11. 뒤
  12. 앞
  13. 뒤
  14. 뒤
  15. 앞
  16. 앞
  17. 앞
  18. 뒤
  19. 뒤
  20. 뒤
  21. 앞
  22. 앞
  23. 앞
  24. 앞
  25. 뒤
  26. 뒤
  27. 뒤
  28. 앞
  29. 앞
  30. 뒤
  31. 뒤
  32. 앞
  33. 뒤
  34. 뒤
  35. 뒤
  36. 뒤
  37. 앞
  38. 앞
  39. 앞
  40. 앞

예시 1,000번 던짐. 앞면이 3번 연속 나온 바로 다음 결과: 앞면 74번, 뒷면 68번(앞면 비율 0.521).

이해 확인하기

답을 고르고 '확인'을 누르세요. 틀리면 다시 볼 설명을 알려 줄게요.답을 골라 본 뒤 '정답과 해설 보기'를 펼쳐 확인하세요.

서로 다른 두 주사위를 던질 때, 두 눈의 합이 4 또는 9일 확률은?

정답과 해설 보기

합이 4인 경우는 3가지, 합이 9인 경우는 4가지이고 두 사건은 동시에 일어나지 않아요. 따라서 336+436=736\frac{3}{36} + \frac{4}{36} = \frac{7}{36}이에요.

동전 한 개와 주사위 한 개를 동시에 던질 때, 동전은 앞면이고 주사위는 짝수의 눈이 나올 확률은?

정답과 해설 보기

동전이 앞면일 확률은 12\frac{1}{2}, 주사위가 짝수일 확률은 36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2}이고 서로 영향을 주지 않아요. 따라서 12×12=14\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}이에요.

주사위 한 개를 던질 때, 짝수 또는 3의 배수의 눈이 나올 확률은?

정답과 해설 보기

짝수 또는 3의 배수인 눈은 2, 3, 4, 6의 4가지예요. 따라서 확률은 46=23\frac{4}{6} = \frac{2}{3}로 쓸 수 있어요.

동전을 4번 던졌더니 모두 앞면이 나왔어요. 5번째에 앞면이 나올 확률은?

정답과 해설 보기

동전을 던지는 일은 앞의 결과에 영향을 받지 않아요. 5번째 결과도 앞면일 확률은 12\frac{1}{2}이에요.

이해했나요?

이해했어요 → 개념 지도로
아직 헷갈려요 → 다른 설명·반례 보기

개념 연결하기

먼저 알아야 할 개념

이 개념: 확률의 덧셈과 곱셈

이어서 배우는 개념

  • 확률의 덧셈정리와 여사건 확률과 통계 준비 중
  • 사건의 독립과 종속 확률과 통계 준비 중

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