경우의 수의 합과 곱
두 경우의 수를 더해야 할 때와 곱해야 할 때를 구분한다
성취기준[9수04-05]
먼저 생각해 보기
상의 3벌과 하의 4벌이 있어요. 상의와 하의를 하나씩 골라 입는 방법은 모두 몇 가지일까요?
직접 발견하기하나만 고를 때와 차례로 모두 고를 때를 비교해 보세요
‘겹치지 않는 것 중 하나만 고르기’와 ‘차례로 모두 고르기’를 번갈아 눌러 보세요. 차례로 모두 고를 때는 ‘처음부터 하나씩 보기’를 누른 뒤 상의를 한 벌씩 골라 보세요. 상의 한 벌을 고를 때마다 하의 4가지가 따라붙어요.
JavaScript를 켜면 직접 실험할 수 있어요. 지금 보이는 것은 미리 해 둔 예시예요.
서울에서 부산까지 기차 3편과 고속버스 4편 중 하나를 골라 탈 때
기차 3가지
- 오전 8시
- 오전 11시
- 오후 3시
고속버스 4가지
- 오전 7시
- 오전 10시
- 오후 1시
- 오후 5시
둘 중 하나만 고르면 기차 3가지 + 고속버스 4가지 = 7가지
상의 3벌과 하의 4벌을 하나씩 골라 입을 때
| 상의＼하의 | 청바지 | 면바지 | 반바지 | 치마 |
|---|---|---|---|---|
| 흰 티 | 흰 티, 청바지 | 흰 티, 면바지 | 흰 티, 반바지 | 흰 티, 치마 |
| 줄무늬 티 | 줄무늬 티, 청바지 | 줄무늬 티, 면바지 | 줄무늬 티, 반바지 | 줄무늬 티, 치마 |
| 후드티 | 후드티, 청바지 | 후드티, 면바지 | 후드티, 반바지 | 후드티, 치마 |
상의 3가지 × 하의 4가지 = 12가지
하나만 고르기: 기차 3가지 + 고속버스 4가지 = 7가지. 차례로 모두 고르기: 상의 3가지 × 하의 4가지 = 12가지.
다르게 이해하기
한 가지 설명으로 잘 와닿지 않으면 다른 설명을 골라 보세요.
직관 고르는 방법 떠올리기
하나만 고를 때는 기차 바구니와 버스 바구니를 하나로 합친 다음 그중 하나를 고르는 것과 같아요. 두 바구니에 같은 것이 없으니 개수를 더해요.
차례로 모두 고를 때는 첫 번째로 고른 것마다 두 번째 선택이 가지처럼 뻗어 나가요. 가지 수가 몇 배로 늘어나니 곱해요.
그림 수형도로 보기
상의 하나에서 하의 4갈래가 뻗고, 상의가 3벌이니 끝에 있는 결과는 4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12개예요. ★는 ‘흰 티’를 고른 4가지예요.
모든 결과 12가지 · ★ 표시한 결과 4가지: (흰 티, 청바지), (흰 티, 면바지), (흰 티, 반바지), (흰 티, 치마)
수학 식으로 정리하기
두 사건이 동시에 일어나지 않을 때 ‘이것 또는 저것’의 경우의 수는 이에요. 첫 번째 선택이 가지이고 그 각각에 대해 두 번째 선택이 가지면, 차례로 모두 고르는 경우의 수는 이에요.
처음 생각과 비교하기
정답은 12가지예요. 상의를 하나 고를 때마다 하의 4가지를 고를 수 있으니 4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12가지예요. 7가지는 상의와 하의 중 하나만 고를 때의 수예요.
개념 정리하기
경우의 수의 합. 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때(겹치는 경우가 없을 때), 사건 A가 일어나는 경우의 수가 , 사건 B가 일어나는 경우의 수가 이면 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수는 이에요.
경우의 수의 곱. 첫 번째 선택이 가지이고, 그 각각의 선택에 대해 두 번째 선택이 가지라면 두 가지를 차례로 모두 고르는 경우의 수는 이에요.
고등학교 공통수학1에서는 이 두 규칙을 ‘합의 법칙’, ‘곱의 법칙’이라고 불러요.
헷갈리는 부분 해결하기'또는'이면 무조건 더한다?
주사위 한 개를 던질 때 ‘2의 배수 또는 3의 배수’의 눈이 나오는 경우를 세어 봐요. 2의 배수는 2, 4, 6으로 3가지, 3의 배수는 3, 6으로 2가지예요. 그렇다고 3 + 2 = 5가지일까요?
- 1
- 22의 배수
- 33의 배수
- 42의 배수
- 5
- 62의 배수, 3의 배수
2의 배수: 2, 4, 6(3가지) · 3의 배수: 3, 6(2가지) · 겹치는 수: 6 → '2의 배수 또는 3의 배수'인 경우는 4가지
6은 두 묶음에 모두 들어 있어서 두 번 셌어요. 실제로는 2, 3, 4, 6의 4가지예요. 더하기는 겹치는 경우가 없을 때만 쓸 수 있어요.
헷갈리는 부분 해결하기4명 중 회장 1명, 부회장 1명을 뽑으면 4 × 4 = 16가지?
회장을 먼저 뽑는 방법은 4가지예요. 그런데 회장으로 뽑힌 사람은 부회장이 될 수 없으니, 회장을 정할 때마다 부회장 후보는 나머지 3명이에요. 그래서 4 × 3 = 12가지예요. 곱할 때는 ‘첫 번째로 고른 것 각각에 대해 두 번째 선택이 몇 가지인지’를 세야 해요.
이해 확인하기
답을 고르고 '확인'을 누르세요. 틀리면 다시 볼 설명을 알려 줄게요.답을 골라 본 뒤 '정답과 해설 보기'를 펼쳐 확인하세요.
책꽂이에 소설책 5권과 만화책 3권이 있어요. 이 중 한 권을 골라 읽는 경우의 수는?
정답과 해설 보기
소설책과 만화책 중 한 권만 고르고, 두 묶음에 같은 책은 없어요. 따라서 5 + 3 = 8가지예요.
동전 한 개와 주사위 한 개를 동시에 던질 때 일어나는 모든 경우의 수는?
정답과 해설 보기
동전의 결과 2가지 각각에 대해 주사위의 결과가 6가지씩 있어요. 따라서 2 × 6 = 12가지예요.
1부터 10까지의 수가 하나씩 적힌 카드 10장 중 한 장을 뽑을 때, 2의 배수 또는 3의 배수가 나오는 경우의 수는?
정답과 해설 보기
2의 배수는 2, 4, 6, 8, 10의 5가지, 3의 배수는 3, 6, 9의 3가지예요. 6이 겹치므로 5 + 3 − 1 = 7가지예요. 직접 나열하면 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10이에요.
5명 중에서 회장 1명과 부회장 1명을 뽑는 경우의 수는?
정답과 해설 보기
회장을 뽑는 방법은 5가지이고, 그 각각에 대해 부회장은 남은 4명 중에서 뽑아요. 따라서 5 × 4 = 20가지예요.