확률의 뜻
상대도수와 경우의 수의 비율, 두 관점으로 확률을 이해한다
성취기준[9수04-06]
먼저 생각해 보기
서로 다른 동전 두 개를 동시에 던질 때, 앞면이 하나만 나올 확률은 얼마일까요? 직감으로 골라 보세요.
직접 발견하기동전 두 개를 직접 던져 보세요
버튼을 눌러 동전 두 개를 여러 번 던지고, ‘앞면이 하나만’ 나온 비율(상대도수)이 어떻게 변하는지 보세요. 적게 던졌을 때와 많이 던졌을 때 선이 얼마나 흔들리는지 비교해 보세요. ‘다시 실험’을 누르면 새 실험 선이 겹쳐 그려져요.
JavaScript를 켜면 직접 실험할 수 있어요. 지금 보이는 것은 미리 해 둔 예시예요.
예시 1,000번: 둘 다 앞면 250번, 앞면 하나만 519번, 둘 다 뒷면 231번. '앞면이 하나만' 나온 상대도수 0.519.
다르게 이해하기
한 가지 설명으로 잘 와닿지 않으면 다른 설명을 골라 보세요.
실험 실험으로 보기
실험 횟수가 적을 때는 상대도수가 크게 오르내리지만, 횟수를 늘리면 어떤 값 가까이로 모이는 경향이 있어요. 동전 두 개에서 ‘앞면이 하나만’ 나오는 상대도수는 이 아니라 근처로 모여요.
이렇게 같은 실험을 많이 반복할 때 상대도수가 가까워지는 값을 그 사건의 확률로 볼 수 있어요. 다만 1,000번, 10,000번을 던져도 상대도수는 에 딱 멈춰 있지 않고 그 근처에서 조금씩 오르내려요. 많이 던질수록 오르내리는 폭이 작아져요.
수학 경우의 수로 보기
두 동전을 빨간 동전, 파란 동전이라고 하고 결과를 (빨간 동전, 파란 동전)의 순서로 써 볼게요. 일어날 수 있는 모든 경우는 (앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤)의 4가지이고, 이 4가지는 모두 같은 정도로 일어나요.
이 중 앞면이 하나만 나오는 경우는 (앞, 뒤), (뒤, 앞)의 2가지예요. 그래서 확률은 이에요.
그림 수형도로 보기
빨간 동전의 결과에서 가지를 두 갈래로 나누고, 각 가지에서 다시 파란 동전의 결과로 두 갈래씩 나누면 끝에 4개의 결과가 생겨요. ★ 표시한 2개가 앞면이 하나만 나온 경우예요.
모든 결과 4가지 · ★ 표시한 결과 2가지: (앞, 뒤), (뒤, 앞)
직관 쌍둥이로 생각하기
똑같이 생긴 동전 두 개라도 서로 다른 동전이에요. 얼굴이 똑같은 쌍둥이에게도 각자 이름이 있는 것과 같아요. ‘형이 앞면, 동생이 뒷면’과 ‘형이 뒷면, 동생이 앞면’은 서로 다른 경우예요. 그래서 ‘앞면이 하나만’에는 두 경우가 들어 있고, ‘둘 다 앞면’보다 두 배 자주 일어나요.
처음 생각과 비교하기
정답은 이에요. 결과를 ‘둘 다 앞면, 하나만 앞면, 둘 다 뒷면’ 세 묶음으로 나누면 처럼 보이지만, 세 묶음은 같은 정도로 일어나지 않아요. ‘하나만 앞면’에는 (앞, 뒤)와 (뒤, 앞) 두 경우가 들어 있어요.
개념 정리하기
확률은 어떤 사건이 일어날 가능성을 수로 나타낸 것이에요. 확률은 두 가지 관점으로 볼 수 있어요.
① 상대도수로 보기. 같은 조건에서 실험이나 관찰을 많이 반복하면, 사건이 일어나는 상대도수가 일정한 값에 가까워지는 경향이 있어요. 이 값을 그 사건의 확률로 봐요.
② 경우의 수의 비율로 보기. 일어날 수 있는 모든 경우가 같은 정도로 일어날 때, 사건 A가 일어날 확률 는 다음과 같아요.
두 관점은 같은 값을 가리켜요. 동전 두 개에서 ‘앞면이 하나만’ 나올 확률은 경우의 수로 이고, 실험의 상대도수도 가까이로 모여요.
헷갈리는 부분 해결하기결과가 세 종류니까 확률은 1/3이다?
‘둘 다 앞면, 하나만 앞면, 둘 다 뒷면’은 결과를 세 묶음으로 나눈 것일 뿐이에요. 경우의 수의 비율로 확률을 구하려면 각 경우가 같은 정도로 일어나야 해요.
빨간 동전과 파란 동전으로 구분하면 ‘하나만 앞면’ 묶음에는 (앞, 뒤)와 (뒤, 앞) 두 경우가 들어 있어요. 그래서 ‘하나만 앞면’은 ‘둘 다 앞면’보다 두 배 자주 일어나요. 직접 발견하기 실험에서 세 막대의 높이를 비교해 보세요.
헷갈리는 부분 해결하기확률이 1/6이면 6번 던질 때 꼭 한 번은 나온다?
주사위에서 1의 눈이 나올 확률은 이지만, 6번 던진다고 1의 눈이 꼭 한 번 나오는 것은 아니에요. 아래는 ‘주사위 6번 던지기’를 한 묶음으로 여러 번 해서, 묶음마다 1의 눈이 몇 번 나왔는지 센 결과예요. 한 번도 안 나온 묶음도, 두 번 이상 나온 묶음도 흔해요.
확률은 아주 많이 반복할 때의 경향을 알려 줄 뿐, 몇 번 안에 꼭 일어난다고 약속하지 않아요.
JavaScript를 켜면 직접 실험할 수 있어요. 지금 보이는 것은 미리 해 둔 예시예요.
예시 100묶음(묶음마다 주사위 6번): 1의 눈이 0번 나온 묶음 39개, 1번 나온 묶음 31개, 2번 이상 나온 묶음 30개.
이해 확인하기
답을 고르고 '확인'을 누르세요. 틀리면 다시 볼 설명을 알려 줄게요.답을 골라 본 뒤 '정답과 해설 보기'를 펼쳐 확인하세요.
서로 다른 동전 두 개를 던질 때, 앞면이 하나만 나올 확률은?
정답과 해설 보기
모든 경우는 (앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤)의 4가지이고, 앞면이 하나만 나오는 경우는 2가지예요. 따라서 확률은 이에요.
주사위 한 개를 던질 때, 짝수의 눈이 나올 확률은?
정답과 해설 보기
모든 경우는 1부터 6까지 6가지이고, 각 눈이 나올 가능성은 같아요. 짝수의 눈은 2, 4, 6의 3가지이므로 확률은 이에요.
압정 한 개를 1,000번 던졌더니 바늘이 위로 향한 경우가 612번이었어요. 압정을 한 번 던질 때 바늘이 위로 향할 확률로 가장 알맞은 것은?
정답과 해설 보기
압정은 모양이 대칭이 아니라서 두 결과가 같은 정도로 일어난다고 할 수 없어요. 이럴 때는 많이 반복한 실험의 상대도수로 확률을 생각해요. 상대도수는 이므로 확률은 약 0.61로 볼 수 있어요.
주사위 한 개를 6번 던질 때, 옳은 설명은?
정답과 해설 보기
‘6번 던지기’를 여러 번 해 보면 1의 눈이 0번, 1번, 2번, … 나온 묶음이 모두 생겨요. 확률 은 아주 많이 던질 때 1의 눈이 전체의 약 정도 나온다는 뜻이에요.