순환소수의 분수 표현

헷갈리는 부분 해결하기끝이 없으니 분수로 나타낼 수 없다?

끝없이 이어지는 소수라도 같은 숫자 배열이 되풀이되면 분수로 나타낼 수 있어요. $0.\dot{4}\dot{5} = \frac{5}{11}$, $0.\dot{3} = \frac{1}{3}$이에요.

헷갈리는 부분 해결하기분수로 바꾼 것은 어림값일 뿐이다?

$100x$와 $x$의 소수점 아래는 끝까지 똑같아서, 빼면 남는 것이 전혀 없어요. 잘라 내고 버린 부분이 없으므로 $0.\dot{3}$과 $\frac{1}{3}$은 정확히 같은 수예요. 어림값은 $0.33$처럼 중간에서 자른 수예요.

헷갈리는 부분 해결하기10배 한 수에서 빼면 언제나 정수가 된다?

$x = 0.1\dot{6}$이면 $10x - x = 1.6666\cdots - 0.1666\cdots = 1.5$예요. 반복은 사라졌지만 소수가 남아요. 틀린 것은 아니어서 $x = \frac{1.5}{9} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$로 계산할 수 있어요.

$x = 0.\dot{4}\dot{5}$이면 $10x - x = 4.5454\cdots - 0.4545\cdots = 4.0909\cdots$로 반복이 그대로 남아요.

10배 한 수에서 원래 수를 빼면 어떤 순환소수는 반복 부분이 사라지지만, 어떤 순환소수는 여전히 반복돼요. 반복을 확실히 없애려면 순환마디 길이만큼 밀어서 빼고, 차를 정수로 만들려면 반복되지 않는 부분까지 생각해야 해요.

헷갈리는 부분 해결하기점의 위치를 무시하기

$0.1\dot{6}$을 $\frac{16}{99}$이라고 하는 실수가 있어요. $0.1\dot{6}$은 $0.1666\cdots$이고 $0.161616\cdots$이 아니에요. $\frac{16}{99} = 0.\dot{1}\dot{6}$이에요. $0.1\dot{6}$은 점이 6 위에만 있어서 반복되지 않는 1이 있으니 $100x - 10x$를 써야 해요.

헷갈리는 부분 해결하기끝없는 소수는 모두 분수로 바꿀 수 있다?

꼬리를 맞춰 지우려면 같은 숫자 배열이 되풀이되어야 해요. 분수는 나누면 언제나 끝나거나 되풀이되므로(유리수의 소수 표현), 되풀이되지 않는 무한소수(예: $\pi = 3.14159\cdots$, 중3에서 배워요)는 분수로 나타낼 수 없고 유리수가 아니에요. ‘끝이 없어도 분수로 나타낼 수 있다’는 말은 순환소수에만 맞아요.