유리수의 소수 표현

분수를 나누어 보면 소수는 끝나거나 반복되며, 기약분수의 분모를 살펴 유한소수인지 판별할 수 있다

성취기준[9수01-06]

먼저 생각해 보기

두 분수 $\frac{3}{40}$ 과 $\frac{1}{6}$ 을 소수로 나타내려고 해요. 분자를 분모로 나누었을 때 소수점 아래 숫자가 어느 자리에서 끝나는 것은 어느 것일까요?

직접 발견하기분수를 한 자리씩 나누어 보세요

예시 분수를 고르고 [한 자리 더]를 눌러 소수점 아래를 한 자리씩 계산해 보세요. 매번 나머지에 10을 곱해 다시 분모로 나눠요. 나머지가 0이 되는 분수와, 앞에서 나온 나머지가 다시 나오는 분수를 찾아보세요. 분자와 분모를 직접 넣어 볼 수도 있어요.

JavaScript를 켜면 직접 실험할 수 있어요. 지금 보이는 것은 미리 해 둔 예시예요.

3 ÷ 40 = 0 … 3

3/40 나눗셈 단계
소수 자리	지금 나머지	×10	÷40	이번 자리 숫자	새 나머지
1	3	30	30 ÷ 40	0	30
2	30	300	300 ÷ 40	7	20
3	20	200	200 ÷ 40	5	0

펼친 소수: 0.075

나머지가 0이 되어 끝났어요 → 유한소수 · 0.075

1 ÷ 7 = 0 … 1

1/7 나눗셈 단계
소수 자리	지금 나머지	×10	÷7	이번 자리 숫자	새 나머지
1	1	10	10 ÷ 7	1	3
2	3	30	30 ÷ 7	4	2
3	2	20	20 ÷ 7	2	6
4	6	60	60 ÷ 7	8	4
5	4	40	40 ÷ 7	5	5
6	5	50	50 ÷ 7	7	1

11번째, 7번째 · 다시 나옴
23번째
32번째
45번째
56번째
64번째

펼친 소수: 0.142857

나머지 1이 다시 나왔어요. 이제부터 같은 계산이 되풀이돼요 → 순환소수 · 순환소수 0.142857142857…, 순환마디 142857, 끝없이 반복

예시: 3/40은 셋째 자리에서 나머지가 0이 되어 0.075로 끝나요. 1/7은 나머지 1, 3, 2, 6, 4, 5 다음에 1이 다시 나와 순환소수 0.142857142857…, 순환마디 142857, 끝없이 반복이 돼요.

처음 생각과 비교하기

$\frac{3}{40} = 0.075$ 는 소수 셋째 자리에서 나머지가 0이 되어 끝나요. $\frac{1}{6} = 0.1666\cdots$ 은 둘째 자리부터 나머지 4가 계속 다시 나와서 6이 끝없이 되풀이돼요.

분모는 40이 6보다 큰데도 $\frac{3}{40}$ 은 끝나고 $\frac{1}{6}$ 은 끝나지 않아요. 분모의 크기 말고 무엇이 다를까요?

먼저 생각해 보기

$\frac{1}{6}$ 이 끝나지 않는 까닭은 분모 $6 = 2 \times 3$ 의 어느 부분 때문일까요?

직접 발견하기분모를 10, 100, 1000…으로 바꿔 보세요

분수를 약분해도 나타내는 수는 달라지지 않아요. 그래서 먼저 기약분수로 바꿔서 봐요.

분모가 10, 100, 1000…인 분수는 바로 소수로 쓸 수 있어요. 예를 들어 $\frac{13}{100} = 0.13$ 이에요. 예시 분수를 고르고 분자와 분모에 2나 5를 곱해 분모를 10, 100, 1000…으로 만들어 보세요. 분모 타일에서 2와 5가 짝을 지으면 10이 돼요. 아무리 곱해도 안 되는 분수가 있는지도 찾아보세요.

JavaScript를 켜면 직접 실험할 수 있어요. 지금 보이는 것은 미리 해 둔 예시예요.

3/40: 분자와 분모에 5를 두 번 곱하면

지금 분수: 75/1000

분자 75

분모 1000

2×5=10
2×5=10
2×5=10

이미 기약분수예요.

짝 없는 2: 0개, 짝 없는 5: 0개

타일 색: 파랑은 2, 주황은 5, 초록은 2와 5가 짝을 지은 10, 회색은 2와 5가 아닌 소인수예요.

3/40 = 75/1000 = 0.075

1/6: 분자와 분모에 5를 곱하면

지금 분수: 5/30

분자 5

분모 30

2×5=10
3

이미 기약분수예요.

짝 없는 2: 0개, 짝 없는 5: 0개

타일 색: 파랑은 2, 주황은 5, 초록은 2와 5가 짝을 지은 10, 회색은 2와 5가 아닌 소인수예요.

10, 100, 1000…은 2와 5만 곱해서 만든 수라서 3이 들어 있지 않아요. 그래서 몇 번을 곱해도 3은 남아요.

예시: 3/40에 ×5를 두 번 곱하면 75/1000 = 0.075가 돼요. 1/6에 ×5를 곱하면 5/30가 되지만 분모의 3이 남아서 분모를 10, 100, 1000…으로 만들 수 없어요.

처음 생각과 비교하기

범인은 3이에요. 10, 100, 1000…은 $10 = 2 \times 5$ 를 거듭 곱한 수라서 2와 5만으로 이루어져 있고 3이 들어 있지 않아요. 그래서 $\frac{1}{6}$ 의 분자와 분모에 무엇을 곱해도 분모의 3은 남고, 분모를 10, 100, 1000…으로 만들 수 없어요.

분모의 2는 5를 곱해 짝을 지어 주면 10이 되니 문제가 되지 않아요.

다르게 이해하기

한 가지 설명으로 잘 와닿지 않으면 다른 설명을 골라 보세요.

그림 나머지 칸으로 보기

$\frac{1}{7}$ 을 나눌 때 나오는 나머지를 원으로 그려 볼게요. 화살표마다 그때 나온 소수 자리 숫자를 적었어요.

동그라미 안의 수는 나머지, 화살표 옆 주황색 수는 그때 나온 소수 자리 숫자예요.

1을 7로 나누면 나머지가 1 → 3 → 2 → 6 → 4 → 5 → 1 순서로 돌아요. 화살표마다 그때 나온 숫자 1, 4, 2, 8, 5, 7이 차례로 적혀 있어요. 0이 아닌 나머지는 1부터 6까지 6가지뿐이라, 늦어도 7번째 나머지는 앞의 6개 중 하나와 같아요. 1/6은 나머지가 1 → 4 → 4처럼 처음 나머지가 아닌 중간 나머지로 돌아가요.

7로 나눈 나머지가 0이 아니라면 1부터 6까지 6가지뿐이에요. 그래서 나누기를 계속하면 늦어도 7번째 나머지는 앞에서 나온 6개 중 하나와 같아져요. 나머지가 같으면 그다음 계산(나머지 × 10 ÷ 7)도 똑같으니, 그때부터 같은 숫자가 같은 순서로 되풀이돼요.

$\frac{1}{7}$ 은 처음 나머지 1로 돌아가서 소수 첫째 자리부터 되풀이되지만, $\frac{1}{6}$ 은 나머지 1 → 4 → 4처럼 중간에 나온 나머지로 돌아가요. 그래서 $0.1\dot{6}$ 처럼 반복이 둘째 자리부터 시작해요.

수학 10의 거듭제곱으로 보기

$10 = 2 \times 5$ 이므로 $10^n = 2^n \times 5^n$ 이에요. 10, 100, 1000…의 소인수는 2와 5뿐이에요.

\frac{3}{40} = \frac{3}{2^3 \times 5} = \frac{3 \times 5^2}{2^3 \times 5 \times 5^2} = \frac{75}{1000} = 0.075

$\frac{1}{6} = \frac{1}{2 \times 3}$ 은 분모에 3이 있어요. 분자와 분모에 무엇을 곱해도 분모의 3은 없어지지 않으니 분모를 $10^n$ 으로 만들 수 없어요.

약분해서 분모가 1이 되면 그 수는 정수예요. 예를 들어 $\frac{6}{3} = 2$ 예요.

직관 리본 나누기

머릿속으로 해 보는 생각 실험이에요. 1m짜리 리본을 똑같이 나누는데, 남는 조각은 10배 작은 조각으로 바꿔서 계속 나눠요. m → 10cm → 1cm → 1mm는 정확히 10배씩 작아져서 소수 자리와 그대로 맞아요.

1m를 4명이 나누기

1m를 10cm 조각 10개로 바꿔 4명에게 2개씩 주면 2개가 남아요.
남은 2개를 1cm 조각 20개로 바꿔 4명에게 5개씩 주면 남는 조각이 없어요.

한 사람 몫은 0.25m예요.

1m를 3명이 나누기

1m를 10cm 조각 10개로 바꿔 3명에게 3개씩 주면 1개가 남아요.
남은 1개를 1cm 조각 10개로 바꿔 3명에게 3개씩 주면 1개가 남아요.
남은 1개를 1mm 조각 10개로 바꿔 3명에게 3개씩 주면 1개가 남아요.

조각을 더 작게 바꿔도 매번 1개가 남아 끝나지 않아요. 한 사람 몫은 0.333…m예요.

생각 실험이에요. 파란 칸은 나눠 준 조각, 점선 회색 칸은 남은 조각이에요.

생각 실험: 1m를 10cm 조각 10개로 바꿔 4명에게 2개씩 주면 2개가 남아요. 남은 2개를 1cm 조각 20개로 바꿔 4명에게 5개씩 주면 남는 조각이 없어요. 한 사람 몫은 0.25m예요. 1m를 10cm 조각 10개로 바꿔 3명에게 3개씩 주면 1개가 남아요. 남은 1개를 1cm 조각 10개로 바꿔 3명에게 3개씩 주면 1개가 남아요. 남은 1개를 1mm 조각 10개로 바꿔 3명에게 3개씩 주면 1개가 남아요. 조각을 더 작게 바꿔도 매번 1개가 남아 끝나지 않아요. 한 사람 몫은 0.333…m예요.

4명이 나눌 때는 1cm 조각에서 남는 것이 없어 0.25m로 끝나요. 3명이 나눌 때는 조각을 아무리 작게 바꿔도 매번 1개가 남아서 0.333…m처럼 끝없이 이어져요.

개념 정리하기

유한소수는 소수점 아래 어느 자리에서 끝나는 소수, 무한소수는 소수점 아래 숫자가 끝없이 이어지는 소수예요. 무한소수 가운데 소수점 아래에서 일정한 숫자 배열이 끝없이 되풀이되는 소수를 순환소수, 되풀이되는 숫자 배열 가운데 가장 짧은 것을 순환마디라고 해요.

순환소수는 순환마디의 처음과 끝 숫자 위에 점을 찍어 나타내요. 순환마디가 한 자리면 점을 하나만 찍어요.

순환소수	순환마디	점으로 나타내기
$0.333\cdots$	3	$0.\dot{3}$
$0.142857142857\cdots$	142857	$0.\dot{1}4285\dot{7}$
$0.1666\cdots$	6	$0.1\dot{6}$
$1.232323\cdots$	23	$1.\dot{2}\dot{3}$

왜 끝나거나 되풀이될까요? 나머지가 0이 되면 나눗셈이 끝나서 유한소수가 돼요. 0이 되지 않으면 나머지는 1부터 (분모 − 1)까지 유한 개뿐이라 언젠가 같은 나머지가 다시 나오고, 그 뒤로는 같은 계산이 되풀이되어 같은 숫자가 반복돼요.

유한소수로 나타낼 수 있는 분수. 분수를 기약분수로 나타냈을 때 분모의 소인수가 2나 5뿐이면 유한소수로 나타낼 수 있어요. 2와 5 말고 다른 소인수가 있으면 순환소수로 나타내져요. $10^n = 2^n \times 5^n$ 이기 때문이에요.

정수가 아닌 유리수는 유한소수나 순환소수로 나타낼 수 있어요. 정수는 이미 정수로 따로 분류하기 때문에 여기서 빼요. 거꾸로 유한소수와 순환소수가 모두 유리수인지는 다음 개념에서 알아봐요.

소수
- 유한소수
- 무한소수
  - 순환소수
  - 순환하지 않는 무한소수 중3

유리수
- 정수
- 정수가 아닌 유리수→ 유한소수나 순환소수로 나타낼 수 있어요

모든 무한소수가 유리수인 것은 아니에요.

이 그림은 정수와 정수가 아닌 유리수를 나누어 살펴보는 교과서의 분류예요. 2를 2.0처럼 쓸 수 없다는 뜻은 아니에요.

소수는 유한소수와 무한소수로, 무한소수는 순환소수와 순환하지 않는 무한소수로 나뉘어요. 유리수는 정수와 정수가 아닌 유리수로 나뉘어요. 정수가 아닌 유리수는 유한소수나 순환소수로 나타낼 수 있어요.

순환하지 않는 무한소수도 있어요(예: $\pi = 3.14159\cdots$ ). 중3에서 배워요.

헷갈리는 부분 해결하기분모가 크면 소수가 끝나지 않는다?

$\frac{3}{40} = 0.075$ 는 분모가 40인데도 끝나고, $\frac{1}{6} = 0.1\dot{6}$ 은 분모가 6인데도 끝나지 않아요. 소수가 끝나는지는 분모의 크기가 아니라 기약분수로 나타낸 분모의 소인수가 정해요. $40 = 2^3 \times 5$ 에는 2와 5만 있고, $6 = 2 \times 3$ 에는 3이 있어요.

헷갈리는 부분 해결하기약분하지 않고 판별하기

$\frac{21}{30}$ 의 분모 $30 = 2 \times 3 \times 5$ 에는 3이 있어요. 그렇다고 순환소수일까요? 약분하면 $\frac{21}{30} = \frac{7}{10} = 0.7$ 로 끝나요. 분자의 3과 분모의 3이 약분되어 없어졌기 때문이에요. 판별은 반드시 기약분수로 나타낸 뒤 분모를 보고 해요.

헷갈리는 부분 해결하기점을 잘못 찍기

점은 순환마디의 처음과 끝 숫자 위에만 찍고, 순환마디는 반복이 처음 시작하는 자리부터 가장 짧게 잡아요.

소수	순환마디	바른 표기	잘못된 표기
$0.1222\cdots$	2	$0.1\dot{2}$	$0.\dot{1}\dot{2}$ (0.1212…를 뜻해요)
$0.123123\cdots$	123	$0.\dot{1}2\dot{3}$	$0.\dot{1}\dot{2}\dot{3}$ (모든 숫자에 찍지 않아요)

$0.1222\cdots$ 에서는 1이 한 번만 나오고 2부터 되풀이되니 반복은 둘째 자리에서 시작해요. $0.123123\cdots$ 에서는 첫째 자리부터 123이 되풀이되니 1과 3 위에 점을 찍어요.

헷갈리는 부분 해결하기계산기에 끝이 보이면 유한소수?

계산기는 화면 칸 수가 정해져 있어요. 그래서 $\frac{2}{3}$ 를 계산하면 계산기마다 0.6666666667이나 0.666666666처럼 화면 칸에 맞춰 반올림하거나 잘라서 보여 줘요. 화면에서 끝나 보여도 실제로는 $0.\dot{6}$ 처럼 끝없이 되풀이될 수 있어요. 유한소수인지는 기약분수의 분모로 판별해요.

이해 확인하기

답을 고르고 '확인'을 누르세요. 틀리면 다시 볼 설명을 알려 줄게요.답을 골라 본 뒤 '정답과 해설 보기'를 펼쳐 확인하세요.

다음 중 유한소수로 나타낼 수 있는 분수는?

정답과 해설 보기

$\frac{1}{8}$ 의 분모 $8 = 2^3$ 에는 2만 있어요. 분자와 분모에 $5^3 = 125$ 를 곱하면 $\frac{125}{1000} = 0.125$ 가 돼요. 나머지 세 분수는 기약분수의 분모에 3이 있어서 순환소수가 돼요.

‘분모에 3이 있는 분수는 언제나 순환소수다’라는 주장이 틀렸음을 보여 주는 예(반례)는?

정답과 해설 보기

$\frac{9}{12}$ 의 분모 $12 = 2^2 \times 3$ 에는 3이 있지만, 약분하면 $\frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75$ 로 끝나요. 분자의 3과 분모의 3이 약분되어 없어졌기 때문이에요. 그래서 판별은 기약분수로 나타낸 뒤에 해요.

$\frac{1}{7}$ 을 소수로 나타낼 때, 같은 나머지가 다시 나오면 그 뒤로 같은 숫자가 되풀이되는 까닭은?

정답과 해설 보기

다음 자리는 언제나 ‘지금 나머지 × 10 ÷ 7’로 정해져요. 나머지 1이 다시 나오면 그 뒤의 계산이 처음과 똑같아서 1, 4, 2, 8, 5, 7이 같은 순서로 되풀이돼요.

$0.2353535\cdots$ 를 점을 찍어 바르게 나타낸 것은?

정답과 해설 보기

2는 한 번만 나오고 그 뒤로 35가 되풀이돼요. 순환마디 35의 처음 숫자 3과 끝 숫자 5 위에 점을 찍어 $0.2\dot{3}\dot{5}$ 로 나타내요.

다음 중 옳은 문장은?

정답과 해설 보기

정수가 아닌 유리수를 나누면 나머지가 0이 되어 끝나거나(유한소수), 같은 나머지가 다시 나와 되풀이돼요(순환소수). 정수는 따로 분류하므로 이 문장에서 빼요.

말로 설명해 보기

기약분수의 분모에 2와 5가 아닌 소인수가 있으면 왜 유한소수가 되지 않을까요?

먼저 소리 내어 말하거나 적어 본 뒤 예시 답안과 비교해 보세요. 채점하지 않아요.

예시 답안 보기

유한소수는 분모가 10, 100, 1000…인 분수로 나타낼 수 있어요. 그런데 $10^n = 2^n \times 5^n$ 이라 소인수가 2와 5뿐이에요. 기약분수의 분모에 3 같은 다른 소인수가 있으면 분자와 분모에 무엇을 곱해도 그 소인수가 분모에 남으니, 분모를 $10^n$ 으로 만들 수 없어요.

이해했나요?

이해했어요 → 다음 개념: 순환소수의 분수 표현

아직 헷갈려요 → 다른 설명·반례 보기

다른 설명: 나머지 칸으로 보기
다른 설명: 10의 거듭제곱으로 보기
다른 설명: 리본 나누기
헷갈리는 부분: 분모가 크면 소수가 끝나지 않는다?
헷갈리는 부분: 약분하지 않고 판별하기
헷갈리는 부분: 점을 잘못 찍기
헷갈리는 부분: 계산기에 끝이 보이면 유한소수?

개념 연결하기

먼저 알아야 할 개념

소인수분해 중1 준비 중
정수와 유리수 중1 준비 중

이 개념: 유리수의 소수 표현

이어서 배우는 개념

순환소수의 분수 표현 중2

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